一、數字特性

掌握一些最基本的數字特性規(guī)律，有利于我們迅速的解題。(下列規(guī)律僅限自然數內討論)

(一)奇偶運算基本法則

【基礎】奇數±奇數=偶數;

偶數±偶數=偶數;

偶數±奇數=奇數;

奇數±偶數=奇數。

【推論】

1.任意兩個數的和如果是奇數，那么差也是奇數;如果和是偶數，那么差也是偶數。

2.任意兩個數的和或差是奇數，則兩數奇偶相反;和或差是偶數，則兩數奇偶相同。

(二)整除判定基本法則

1.能被2、4、8、5、25、125整除的數的數字特性

能被2(或5)整除的數，末一位數字能被2(或5)整除;

能被4(或 25)整除的數，末兩位數字能被4(或 25)整除;

能被8(或125)整除的數，末三位數字能被8(或125)整除;

一個數被2(或5)除得的余數，就是其末一位數字被2(或5)除得的余數;

一個數被4(或 25)除得的余數，就是其末兩位數字被4(或 25)除得的余數;

一個數被8(或125)除得的余數，就是其末三位數字被8(或125)除得的余數。

2.能被3、9整除的數的數字特性

能被3(或9)整除的數，各位數字和能被3(或9)整除。

一個數被3(或9)除得的余數，就是其各位相加后被3(或9)除得的余數。

3.能被11整除的數的數字特性

能被11整除的數，奇數位的和與偶數位的和之差，能被11整除。

(三)倍數關系核心判定特征

如果a∶b=m∶n(m，n互質)，則a是m的倍數;b是n的倍數。

如果x=mny(m，n互質)，則x是m的倍數;y是n的倍數。

如果a∶b=m∶n(m，n互質)，則a±b應該是m±n的倍數。

二、乘法與因式分解公式

正向乘法分配律：(a+b)c=ac+bc;

逆向乘法分配律：ac+bc=(a+b)c;(又叫“提取公因式法”)

平方差：a^2-b^2=(a-b)(a+b);

完全平方和/差：(a±b)^2=a^2±2ab+b^2;

立方和：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2);

立方差：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2);

完全立方和/差：(a±b)^3=a^3±3a^2b+3ab^2±b^3;

等比數列求和公式：S=a1(1-q^n)/(1-q) (q≠1);

等差數列求和公式：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2。

三、三角不等式

丨a+b丨≤丨a丨+丨b丨;丨a-b丨≤丨a丨+丨b丨;丨a-b丨≥丨a丨-丨b丨;-丨a丨≤a≤丨a丨;丨a丨≤b?-b≤a≤b。

四、某些數列的前n項和

1+2+3+…+n=n(n+1)/2;

1+3+5+…+(2n-1)=n^2;

2+4+6+…+(2n)=n(n+1);

1^2+3^2+5^2+…+(2n-1)^2=n(4n^2-1)/3

1^3+2^3+3^3+…+n^3==(n+1)^2*n^2/4

1^3+3^3+5^3+…+(2n-1)^3=n^2(2n^2-1)

1×2+2×3+…+n(n+1)=n*(n+1)*(n+2)/3